Question

已知函数f（x）=x²-

1

2

x+

1

4

，g（x）=2x-

1

2

．
（1）若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=g（a_n）+g（n）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}满足：b₁=b，b_n+1=2f（b_n）（n∈N^*）
（i）当b=

1

2

时，数列{b_n}是否为等差数列？若是，请求出数列{b_n}的通项a_n；若不是，请说明理由；
（ii）当

1

2

＜b＜1时，求证：

n

i=1

1

bi

＜

2

2b-1

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,等差数列与等比数列的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数．代入条件找到数列{a_n}的递推公式，再对递推公式利用构造法找到一个等比数列的通项，就可求出数列{a_n}的通项a_n；（Ⅱ）（ⅰ）先求出数列{b_n}的递推公式，再把b=

1

2

代入即可证明数列{b_n}是等差数列．（ⅱ）先求出数列{b_n}的递推公式，转化为

1

bn

=

1

bn- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

．再利用数学归纳法证明bn＞

1

2

，(n=1，2，3，…)，即可证得结论．

解答： 解：（1）a_n+1=g（a_n）+g（n）=2a_n+2n-1可化为
a_n+1+2（n+1）+1=2（a_n+2n+1），
则{a_n+2n+1}是以a₁+3=1+3=4为首项，以2为公比的等比数列，
则a_n+2n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
则a_n═2ⁿ⁺¹-2n-1．
（2）
（i）由b_n+1=2f（b_n）=2（bn2-

1

2

bn+

1

4

），
∵b₁=b=

1

2

，∴b₂=2（(

1

2

)2-

1

2

•

1

2

+

1

4

）=

1

2

，
则可知b_n=

1

2

．
数列{b_n}为等差数列，且b_n=

1

2

（n∈N^*）．
（ii）∵bn+1=2bn2-bn+

1

2

，
∴b_n+1-b_n=2（b_n-

1

2

）²
∴当

1

2

＜b＜1时，b2＞b1＞

1

2

；
假设bk＞

1

2

，则bk+1＞bk＞

1

2

．
则bn＞

1

2

，(n=1，2，3，…)
又∵b_n+1-

1

2

=2bn(bn-

1

2

)，
∴

1

bn+1- 1 2

=

1

bn- 1 2

-

1

bn

，
即

1

bn

=

1

bn- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

，
∴

n

i=1

1

bi

=

n

i=1

1

bi- 1 2

-

1

bi+1- 1 2

=

1

b1- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

，
又∵bn＞

1

2

，(n=1，2，3，…)，
∴

n

i=1

1

bi

＜

1

b1- 1 2

=

2

2b-1

．

点评：本题是对数列与函数的综合以及数学归纳法的综合考查．在数列与函数的综合题中，一般是利用函数的单调性来研究数列的单调性，或是利用函数的导函数来研究数列．