Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．有下列命题：
①若函数所有极大值对应的点均在同一条直线上，则c=1；
②从左起第n个极大值点的坐标是（3•2^n-2，c^n-2）；
③c=1时，方程f（x）-sinx=0，x∈[0，4π]有6个零点；
④当1≤x≤8时，函数f（x）图象与x轴所围成图形面积的最小值等于3．
其中，正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：①由已知的两个条件，可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．
②由①得到的极值点，根据等比数列的通项公式，即可判断；
③画出y=f（x），x∈[1，4π]，y=sinx在x∈[0，4π]的图象，由图象观察即可判断；
④分别求出三段的三角形的面积，求和，运用基本不等式，即可求出最小值．

解答： 解：①当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=

1

c

f（2x）=

1

c

（1-|2x-3|），此时当x=

3

2

时，函数取极大值

1

c

；
当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|；此时当x=3时，函数取极大值1
当4＜x≤8时，2＜

x

2

≤4，则f（x）=cf（

x

2

）=c（1-|

x

2

-3|），此时当x=6时，函数取极大值c．
由于函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（

3

2

，

1

c

），（3，1），（6，c）共线，

c-1

3

=

2

3

•（1-

1

c

），解得c=1或2．故①错误；
②由①可知，极大值点的横坐标成等比数列，首项为

3

2

，公比为2，
纵坐标也成等比数列，首项为

1

c

，公比为c，则从左起第n个极大值点的坐标是（3•2^n-2，c^n-2），故②正确；
③c=1时，方程f（x）-sinx=0，x∈[0，4π]，画出y=f（x），x∈[1，4π]，y=sinx在x∈[0，4π]的图象，由图象可得有4个交点，故③错；
④当1＜x＜2时，三角形的面积为

1

2

×1×

1

c

，2＜x＜4时，三角形的面积为

1

2

×2×1=1，
当4＜x＜8时，
三角形的面积为

1

2

×4×c=2c．
故面积和为：
1+2c+

1

2c

≥1+2=3．当且仅当c=

1

2

，取最小值3．故④正确．
故答案为：②④

点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的极值概念，函数零点问题转化为图象交点问题，同时考查数列通项，点共线问题及直线的斜率问题，是一道综合题，有一定的难度．