Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax-a（a∈R）．
（1）当a=-3时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．
（3）（理科）当x=4时，函数f（x）有极值，求函数f（x）在区间[-4，2]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）根据极值的定义，先对原函数求导数，然后令导函数等于0，求出方程的解，再根据极值的定义看在所求的点处能否取到极值，是极大值还是极小值；
（2）求出导函数，利用导函数根的判别式讨论导函数=0方程的解的情况得到关于a的不等式，因为图象与x轴有且只有一个交点，①根的判别式小于等于0，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0；②根的判别式大于0时由f（x₁）•f（x₂）＞0得到求出a的解集可；
（3）先求出a的值，再确定函数的单调性，即可求函数f（x）在区间[-4，2]上的最值．

解答： 解：（1）f（x）=

1

3

x³-x²-3x+3，
所以f′（x）=x²-2x-3．
解x²-2x-3=0，得：x=-1或x=3，所以
x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0；
x∈（-1，3）时，f′（x）＜0；
x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0．
根据极值的定义知：x=-1时，f（x）取到极大值f（-1）=

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3

；x=3时，f（x）取到极小值f（3）=-6．
（2）∵f′（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．
①若a≥1，则△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．
∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
②若a＜1，则△＞0，∴f′（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=a．
∵x₁²-2x₁+a=0，∴a=-x₁²+2x₁．
∴f（x₁）=

1

3

x₁[x₁²+3（a-1）]
同理f（x₂）=

1

3

x₂[x₂²+3（a-1）]
令f（x₁）•f（x₂）＞0，解得a＞0．
而当0＜a＜1时，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．
（3）f′（x）=x²-2x+a，
∵x=4时，函数f（x）有极值，
∴f′（4）=16-8+a，
∴a=-8，
∴f′（x）=（x-4）（x+2），f（x）=

1

3

x³-x²-8x+8
∴函数在[-4，-2]上单调递增，在[-2，2]上单调递减，
∴函数在x=-2时，函数取得最大值

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3

，最小值34

2

3

．

点评：考查极值的定义，只要理解极值的定义，分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．