Question

函数y=

x2+k

x2+4

，其中k为实数，求函数y的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法，将函数进行转化，结合f（t）=t+

k-4

t

单调性的性质，即可得到结论．

解答： 解：y=

x2+k

x2+4

=

x2+4+k-4

x2+4

=

x2+4

+

k-4

x2+4

，
设t=

x2+4

，则t≥2，
则函数等价为y=f（t）=t+

k-4

t

，（t≥2），
若k-4＜0，即k＜4，则函数y=f（t）在[2，+∞）上单调递增，则函数的最小值为f（2）=2+

k-4

2

=

k

2

，
若k=4，则函数f（t）=t在[2，+∞）上单调递增，则函数的最小值为f（2）=

k

2

=

4

2

=2，
若k＞4，函数y=f（t）=t+

k-4

t

，在（0，

k-4

）上单调递减，在（

k-4

，+∞）上递增，
若

k-4

≤2，即0＜k-4≤4，则4＜k≤8时函数y=f（t）在[2，+∞）上单调递增，则函数的最小值为f（2）=2+

k-4

2

=

k

2

，
若

k-4

＞2，即k-4＞4，则k＞8时，函数在x=

k-4

时，取得最小值，最小值为f（

k-4

）=2

k-4

，
综上当k≤8时，函数的最小值为f（2）=2+

k-4

2

=

k

2

，
当k＞8时，函数的最小值为2

k-4

．

点评：本题主要考查函数最值的求解，利用函数f（t）=t+

k-4

t

的性质是解决本题的关键．