Question

已知向量

m

=（sinx，1），

n

=（

3

Acosx，

A

2

cos2x）（A＞0），函数f（x）=

m

•

n

的最大值为6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，

5π

24

]上的值域．
（Ⅲ）若函数y=f（x）满足方程f（x）=k（3＜k＜6），求此方程在[0，

7π

6

]内所有实数根之和．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积与辅助角公式可得f（x）=Asin（2x+

π

6

），其最大值为6，可得A的值；
（Ⅱ）利用三角恒等变换可得g（x）=6sin（4x+

π

3

），当x∈[0，

5π

24

]时，（4x+

π

3

）∈[

π

3

，

7π

6

]，利用正弦函数的性质可求得g（x）在[0，

5π

24

]上的值域．
（Ⅲ）作出y=6sin（4x+

π

3

），x∈[0，

7π

6

]的图象，即可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

m

•

n

=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x=

3

2

Asin2x+

A

2

cos2x=Asin（2x+

π

6

），
又A＞0，∴f（x）_max=A=6；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=6sin（2x+

π

6

），将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，得f（x+

π

12

）=6sin[2（x+

π

12

）+

π

6

）]=6sin（2x+

π

3

），
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得g（x）=6sin（4x+

π

3

），
∵x∈[0，

5π

24

]，∴（4x+

π

3

）∈[

π

3

，

7π

6

]，
∴sin（4x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，6sin（4x+

π

3

）∈[-3，6]，
即g（x）在[0，

5π

24

]上的值域为[-3，6]．
（Ⅲ）∵f（x）=6sin（2x+

π

6

），
∴当x∈[0，

7π

6

]时，∴（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

5π

2

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，6sin（2x+

π

6

）∈[-6，6]，
作出y=6sin（2x+

π

6

），x∈[0，

7π

6

]的图象，如下：

设y=k与y=6sin（2x+

π

6

），x∈[0，

7π

6

]的图象交点的横坐标分别为x₁、x₂、x₃（自左向右），
则x₁+x₂=

π

6

×2=

π

3

；

x₂+x₃=

2π

3

×2=

4π

3

；
又y=6sin（2x+

π

6

）的周期T=π，∴x₁+x₃=π；
∴2（x₁+x₂+x₃）=

π

3

+

4π

3

+π=

8π

3

，
∴x₁+x₂+x₃=

4π

3

，即此方程在[0，

7π

6

]内所有实数根之和为

4π

3

．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的图象与性质，（Ⅲ）中作图是关键，也是难点，考查推理、分析与运算能力，属于难题．