Question

在平面直角坐标系中，已知点O（0，0）．A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），其中α∈（

π

2

，

3π

2

）．
（1）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

的值．
（2）若f（α）=

OC

•

OD

-t²+2在定义域α∈（

π

2

，

3π

2

）有最小值-1，求t的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：本题（1）利用平面向量的坐标化，得到角α的三角函数关系，通过三角化简变形后，得到所求三角函数式的值；（2）通过换元，将三角函数式转化为二次函数，求二次函数在区间上的最小值，得到关于t的方程，求出t的值．

解答： 解：由

AC

•

BC

=-1得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．
∴sinα+cosα=

2

3

．
又

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=sinαcosα．
由①式两边平方得1+2sinαcosα=

4

9

，
∴2sinαcosα=-

4

9

．
∴

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=-

5

9

．
（2）依题意记y=f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2
=2（1-cos²α）-tsinα-t²+2=2sin²α-tsinα-t²．
令x=sinα，α∈(

π

2

，

3π

2

)∴sinα∈（-1，1）．
y=2x²-tx-t²，x∈（-1，1）
关于x的二次函数开口向上，对称轴为x=

t

4

，
y=2x²-tx-t² 在x∈（-1，1）上存在最小值，
则对称轴x=

t

4

∈(-1，1)，∴t∈（-4，4）．
且当x=

t

4

时，y=2x²-tx-t² 取最小值为ymin=2×

t2

16

-t•

t

4

-t2=-

9

8

t2=-1．
∴t=±

2 2

3

．

点评：本题考查了化归转化思想，涉及到三角函数式的化简，三角函数转化为代数函数．本题有一定的难度，属于中档题．