Question

已知矩阵A=

2 b 1 3

属于特征值λ的一个特征向量为α=

1 -1

．
（1）求实数b，λ的值；
（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x²+2y²=2，求曲线C的方程．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：计算题,矩阵和变换

分析：（1）由矩阵的特征向量的定义，即可求出b=0，λ=2；
（2）设曲线C上任一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C′上一点P（x₀，y₀），由矩阵变换的特点，即可得到它们的关系式，再代入已知曲线方程即可．

解答： 解：（1）因为矩阵A=

2 b 1 3

属于特征值λ的一个特征向量为α=

1 -1

，
所以

2 b 1 3

 

1 -1

=λ

1 -1

，即

2-b -2

=

λ -λ

，从而2-b=λ，-2=-λ，
解得b=0，λ=2．
（2）由（1）知，A=

2 0 3 1

．
设曲线C上任一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C′上一点P（x₀，y₀），
则

x0 y0

=

2 0 1 3

 

x y

=

2x x+3y

，
从而

x0=2x y0=x+3y

                           
因为点P在曲线C′上，所以x₀²+2y₀²=2，即（2x）²+2（x+3y）²=2，
从而3x²+6xy+9y²=1．
所以曲线C的方程为3x²+6xy+9y²=1．

点评：本题考查矩阵的特征值和特征向量，以及矩阵变换下的曲线方程，属于中档题．