Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，高为4．
（Ⅰ）求证：平面BDD₁B₁⊥平面B₁AC；
（Ⅱ）求直线AB₁与平面BDD₁B₁所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得BB₁⊥AC，AC⊥BD．由此AC⊥平面BDD₁B₁．从而能力证明平面BDD₁B₁⊥平面B₁AC．
（Ⅱ）设AC与BD交于点O，连结B₁O．由已知得∠AB₁O为AB₁与平面BDD₁A₁所成的角．由此能求出直线AB₁与平面BDD₁A₁所成的角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AC．
又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵BD∩BB₁=B，BD?平面BDD₁B₁，BB₁?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥平面BDD₁B₁．
∵AC?平面B₁AC，
∴平面BDD₁B₁⊥平面B₁AC．…（6分）
（Ⅱ）设AC与BD交于点O，连结B₁O．
由（Ⅰ）知AC⊥平面BDD₁B₁，
∴B₁O为斜线AB₁在平面BDD₁B₁内的射影，
∴∠AB₁O为AB₁与平面BDD₁A₁所成的角．
在底面正方形ABCD中，求得AO=

2

，
在侧面矩形ABB₁A₁中，求得AB1=

20

=2

5

．
在Rt△AB₁O中，求得sin∠AB1O=

2

2 5

=

10

10

．
∴直线AB₁与平面BDD₁A₁所成的角的正弦值为

10

10

．…（13分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．