Question

如图，在三棱锥P-ABC中，设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是点M到面PAB、面PBC、面PAC的距离．已知PA、PB、PC两两垂直，且PA=2，PB=2，PC=3．若f（M）=（

9

4

，x，y），则使

1

x

+

a

y

≥8恒成立的正实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出

1

x

+

a

y

的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可求得正实数a的最小值．

解答： 解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=2，PC=3，∴V_P-ABC=

1

3

•（

1

2

•PA•PB）•PC=

1

3

（

1

2

•PA•PB）•m+

1

3

（

1

2

PB•PC）•n+

1

3

（

1

2

PA•PC）•p，
即

1

3

•（

1

2

×2×2）×3=

1

3

（

1

2

×2×2）×

9

4

+

1

3

（

1

2

×2×3）x+

1

3

（

1

2

×2×3）y，
化简可得2x+2y=1．
故有

1

x

+

a

y

=（2x+2y）（

1

x

+

a

y

）=2+2a+

2ax

y

+

2y

x

≥2+2a+2

4a

≥8，即a+2

a

-3≥0，当且仅当

2ax

y

=

2y

x

 时，取等号．
求得

a

≥1，或

a

≤-3（舍去），∴a≥1，
即使

1

x

+

a

y

≥8恒成立的正实数a的最小值为1，
故答案为：1．

点评：本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于基础题．