Question

已知a、b、c是互不相等的正数，则使不等式

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

＞

m

a+b+c

成立的最大实数m为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由于a、b、c是互不相等的正数，可得2（a+b+c）(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)=3+

b+c

a+b

+

a+c

a+b

+

a+c

b+c

+

a+b

b+c

+

a+b

a+c

+

b+c

a+c

，利用基本不等式即可得出．

解答： 解：∵a、b、c是互不相等的正数，
∴2（a+b+c）(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)=3+

b+c

a+b

+

a+c

a+b

+

a+c

b+c

+

a+b

b+c

+

a+b

a+c

+

b+c

a+c

＞3+2

b+c a+b • a+b b+c

+2

a+c a+b • a+b a+c

+2

a+c b+c • b+c a+c

=9，
∴（a+b+c）(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)＞

9

2

，
∴使不等式

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

＞

m

a+b+c

成立的最大实数m为

9

2

．
故答案为：

9

2

．

点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于中档题．