Question

已知函数f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³，
（1）求函数的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）求证：对定义域内的所有x，f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求函数的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）根据函数的奇偶性结合函数的定义域即可证明对定义域内的所有x，f（x）＞0．

解答： 解：（1）要使函数f（x）有意义，则2^x-1≠0，即x≠0，则函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
（2）∵f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³=

2x+1

2(2x-1)

x³，
∴f（-x）=

2-x+1

2(2-x-1)

•(-x)3=

2x+1

2(2x-1)

•x³=f（x），
则函数f（x）是偶函数．
（3）∵函数f（x）是偶函数，
∴只要证明当x＞0时，f（x）＞0，即可．
当x＞0，2^x-1＞0，此时（

1

2x-1

+

1

2

）x³＞0，即f（x）＞0成立，
综上对定义域内的所有x，f（x）＞0．

点评：本题主要考查函数定义域，奇偶性以及函数值的求解和证明，综合考查函数的性质．