Question

已知函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

，x∈R（其中ω＞0）
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）的最小正周期为π，试确定ω的值，并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间；
（3）在（2）的条件下，若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和与差的正弦及二倍角的余弦化简f（x）=2sin（ωx-

π

6

）-1，从而可求函数f（x）的最大值；
（2）利用正弦函数的周期公式T=

2π

ω

=π，即得ω=2；利用正弦函数的单调性质可求得y=f（x）的单调增区间；
（3）|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，依题意，m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2；利用x∈[

π

4

，

π

2

]，

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，-2≤2sin（2x-

π

6

）-1≤1即可求得m的取值范围．

解答： 解：（1）f(x)=sin(ωx+

π

6

)+sin(ωx-

π

6

)-2cos2

ωx

2

，x∈R
=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-（cosωx+1）
=2（

3

2

sinωx-

1

2

cosωx）-1=2sin（ωx-

π

6

）-1
⇒函数f（x）的最大值为1----4分
（2）y=f（x）的周期为π，又由ω＞0，得

2π

ω

=π，即得ω=2．
于是有f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1，再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

 (k∈Z)．
所以y=f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

] (k∈Z)．-----8分
（3）∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，
x∈[

π

4

，

π

2

]，∴m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，
又∵x∈[

π

4

，

π

2

]，

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
即-2≤2sin（2x-

π

6

）-1≤1，
∴-1＜m＜0，即m的取值范围是（-1，0）．----12分．

点评：本题考查两角和与差的正弦及二倍角的余弦，着重考查正弦函数的周期性、单调性及闭区间上的最值，考查运算求解能力，属于中档题．