Question

设f（x）是R上的奇函数，且对任意的实数a，b当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0
（1）若a＞b，试比较f（a），f（b）的大小；
（2）若存在实数x∈[

1

2

，

3

2

]使得不等式f（x-c）+f（x-c²）＞0成立，试求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的性质和条件得：

f(a)-f(b)

a-b

=

f(a)+f(-b)

a+(-b)

＞0，由a＞b判断出f（a）、f（b）的大小；
（2）根据（1）和单调性的定义可判断出函数的单调性，再由奇函数的性质得：f（x-c）+f（x-c²）＞0等价于f（x-c）＞f（c²-x），根据单调性列出关于x得不等式，求出x的范围即不等式的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴

f(a)-f(b)

a-b

=

f(a)+f(-b)

a+(-b)

＞0，
又∵a＞b，∴a-b＞0，∴f（a）-f（b）＞0，
即f（a）＞f（b）．

（2）由（1）知，a＞b时，都有f（a）＞f（b），
∴f（x）在R上单调递增，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x-c）+f（x-c²）＞0等价于f（x-c）＞f（c²-x）
∴不等式等价于x-c＞c²-x，即c²+c＜2x，
∵存在实数x∈[

1

2

，

3

2

]使得不等式c²+c＜2x成立，
∴c²+c＜3，即c²+c-3＜0，
解得，-

1+ 13

2

＜c＜

13 -1

2

，
故c的取值范围为(-

1+ 13

2

，

13 -1

2

)．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及抽象函数的单调性，不等式的解法等，属于中档题．