Question

l₁与l₂之间是两条异面直线，AD∈l₁，BC∈l₂，若l₁与l₂成60°，且AB=CD=a，AD=BC=b，求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：取几条线段的中点并连接起来：分别是线段BD中点F，CD中点G，BC中点H，AC中点I，并连接FH，FG，FI，HI，GI，则∠FGI=60°或120°，∠FHI或180°-∠FHI是AB与CD所成角，所以在△FGI和△FHI根据一些边角的值根据余弦定理求出∠FHI余弦值，并加绝对值即得异面直线AB与CD所成角的余弦值．

解答： 解：如图，连接BD，AC，分别取BD，CD，BC，AC的中点F，G，H，I，并连接FG，FH，FI，GI，HI；
∵根据中位线的性质及已知条件知：FG=

1

2

b，GI=

1

2

b，∠FGI=60°或120°，FH=

a

2

，HI=

a

2

，且∠FHI，或180°-∠FHI是AB与CD所成的角；
∴∠FGI=60°时，由FG=GI=

b

2

，知△FGI是等边三角形，∴FI=

b

2

；
∴在△FHI中，由余弦定理得：cos∠FHI=

a2 4 + a2 4 - b2 4

2• a 2 • a 2

=

2a2-b2

2a2

；
∠FGI=120°时，在△FGI中，由余弦定理得：FI2=

b2

4

+

b2

4

+2•

b

2

•

b

2

•

1

2

=

3b2

4

；
∴在△FHI中，由余弦定理得：cos∠FHI=

a2 4 + a2 4 - 3b2 4

2• a 2 • a 2

=

2a2-3b2

2a2

；
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为：

|2a2-b2|

2a2

或

|2a2-3b2|

2a2

．

点评：考查三角形中位线的性质，余弦定理，而求解本题的关键是找到能联系的两个三角形．