Question

下列命题中正确的是（　　）
（1）已知a，b∈R，则a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件
（2）当z是非零实数时，|z+

1

z

|≥2恒成立
（3）复数z=（1-i）³的实部和虚部都是-2
（4）设z的共轭复数为

.

z

，若z+

.

z

=4，z•

.

z

=8，则

. z

z

=-i．

• A、（1）（2）
• B、（1）（3）
• C、（2）（3）
• D、（2）（4）

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算,复数的代数表示法及其几何意义

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）a，b∈R，则a=b是（a-b）+（a+b）i不一定为纯虚数；
（2）当z是非零实数时，|z+

1

z

|=|z|+

1

|z|

，利用基本不等式的性质即可得出；
（3）复数z=（1-i）³=-2i（1-i）=-2-2i，即可判断出其实部和虚部；
（4）设z=a+bi（a，b∈R），则共轭复数为

.

z

=a-bi，若z+

.

z

=4=2a，z•

.

z

=8=a²+b²，解得a，b．即可判断出．

解答： 解：（1）∵a，b∈R，则a=b是（a-b）+（a+b）i不一定为纯虚数，因此不正确；
（2）当z是非零实数时，|z+

1

z

|=|z|+

1

|z|

≥2恒成立，正确；
（3）复数z=（1-i）³=-2i（1-i）=-2-2i，其实部和虚部都是-2；
（4）设z=a+bi（a，b∈R），则共轭复数为

.

z

=a-bi，若z+

.

z

=4=2a，z•

.

z

=8=a²+b²，解得a=2，b=±2．
则

. z

z

=

2-2i

2+2i

=

(1-i)2

(1+i)(1-i)

=-2i，或

. z

z

=

2+2i

2-2i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=i，因此不正确．
综上可得：只有（2）（3）正确．
故选：C．

点评：本题综合考查了复数的有关概念及其运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．