Question

平面直角坐标系中，已知定点A₁（-

7

，0），A₂（

7

，0），动点B₁（0，m），B₂（0，

1

m

），（m∈R且m≠0），直线A₁B₁与直线A₂B₂的交点N的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）斜率为1的直线l交轨迹C于P、Q两点，以PQ为直径的圆与y轴相切，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）直线A₁B₁为：y=

m

7

x+m，直线A₂B₂为：y=-

1

7 m

x+

1

m

，由此能求出轨迹C的方程．
（2）设直线方程为y=x+n，与椭圆联立方程

x2 7 +y2=1 y=x+n

，得8x²+14nx+7n²-7=0，由此能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）直线A₁B₁为：y=

m

7

x+m，
直线A₂B₂为：y=-

1

7 m

x+

1

m

，
∴其交点满足方程

y= m 7 x+m y=- 1 7 m x+ 1 m

，
相乘消去m，得轨迹C的方程：

x2

7

+y2=1（x≠-

7

）．…（5分）
（2）设直线方程为y=x+n，
与椭圆联立方程

x2 7 +y2=1 y=x+n

，得8x²+14nx+7n²-7=0，
以PQ为直径的圆与y轴相切，∴|PQ|=x₁+x₂，
∴

2

|x1-x2|=x1+x2，∴(x1+x2)2=8x1x2，
∴7n²=16n²-16，∴n2=

16

9

，∴n=

4

3

或 n=-

4

3

，
∴直线l的方程为y=x+

4

3

，或 y=x-

4

3

．…（13分）

点评：本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．