Question

已知f（x）=3×2^x，若g（x）=

cxf(x)

2x(x2-1)

，讨论g（x）在（-1，1）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：探究型,分类讨论

分析：f（x）=3×2^x，若g（x）=

cxf(x)

2x(x2-1)

=利用定义法推导出当c＞0时g（x）=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1）单调递减；当c＜0时，g（x）=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1）单调递增．

解答： 解：g（x）=

cxf(x)

2x(x2-1)

x∈（-1，1），
下面证明单调性：任取-1＜x₁＜x₂＜1，g（x₁）-g（x₂）=

3cx1

3(x1)2-1

-

3cx2

3(x2)2-1

=

3c(x2-x1)(x1x2+1)

((x1)2-1)((x2)2-1)

，
由-1＜x₁＜x₂＜1知

3(x2-x1)(x1x2-1)

((x1)2-1)((x2)2-1)

＞0，
故当c＞0时，g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），∴函数g（x）在（-1，1）单调递减；
当c＜0时g（x₁）-g（x₂）＜0即g（x₁）＜g（x₂），∴函数g（X）在（-1，1）单调递增．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性的判断，解题时要注意函数的性质的合理运用．