Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O₁O₂ 的延长线相交于点C，延长AP交⊙O₂于点D，点E在AD延长线上．
（1）求证：△ABP是直角三角形；
（2）若AB•AC=AP•AE，试判断AC与EC能否一定垂直？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AP=4，PD=

9

4

，求

EC

AC

的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）过点P作两圆公切线PN交AB于N，由切线长定理能证明△PAB为直角三角形．
（2）由AB•AC=AP•AE，得△PAB∽△CAE，能此推导出AC⊥EC．
（3）由切割线定理，AB²=AP•AD，由此能求出

EC

AC

=

3

4

．

解答： （1）证明：过点P作两圆公切线PN交AB于N，
由切线长定理得：
NP=NA=NB，∴△PAB为直角三角形． …（3分）
（2）解：AC⊥EC．
理由如下：
∵AB•AC=AP•AE，
∴

AB

AP

=

AE

AC

，又∠PAB=∠EAC，
∴△PAB∽△CAE，
∴∠ECA=∠APB=90°，
即AC⊥EC．…（6分）
（3）解：由切割线定理，AB²=AP•AD，
∴AB=5，PB=3，PB：PA=3：4=EC：AC，
∴

EC

AC

=

3

4

．…（9分）

点评：本题考查直角三角形的证明，考查两直线是否存在的判断与求法，考查两线段比值的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．