Question

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值点．
（3）设函数f（x）的导函数是f′（x），当a=1时求证：对任意x₁，x₂∈（3，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥|f′（x₁）-f′（x₂）|成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3a，由此利用导数性质能求出a=4，b=24．
（2）由f′（x）=3（x²-a），a≠0，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f（x）的单调区间与极值点．
（3）设x₂≥x₁＞3，要证|f（x₁）-f（x₂）|≥|f′（x₁）-f′（x₂）|，只需证x23-3x22-3x2≥x13-3x12-3x1，由此能证明对任意x₁，x₂∈（3，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥|f′（x₁）-f′（x₂）|成立．

解答： （1）解：∵f（x）=x³-3ax+b，
∴f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，
∴

f′(2)=3(4-a)=0 f(2)=8-6a+b=8

，
解得a=4，b=24．
（2）解：∵f′（x）=3（x²-a），a≠0，
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
此时函数f（x）没有极值点，
当a＞0时，由f′（x）=0，得x=±

a

，
当x∈（-∞，-

a

）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（-

a

，

a

）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（

a

，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴x=-

a

是f（x）的极大值点，x=

a

是f（x）的极小值点．
（3）证明：不妨设x₂≥x₁＞3，
∵a=1，由（2）知f（x）在（3，+∞）上单调递增，
又f′（x）=3x²-3在（3，+∞）上也单调递增，
∴要证|f（x₁）-f（x₂）|≥|f′（x₁）-f′（x₂）|，
只需证x23-3x22-3x2≥x13-3x12-3x1，
设g（x）=x³-3x²-3x，x＞3，
g′（x）=3（x²-2x-1），
当x＞3时，g′（x）＞0，g（x）=x³-3x²-3x在（3，+∞）上单调递增，
∴x23-3x22≥x13-3x12-3x1成立，
∴对任意x₁，x₂∈（3，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥|f′（x₁）-f′（x₂）|成立．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．