Question

已知函数f（x）=|2x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤5的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数x使f（x）≤m-f（-x）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由|2x-a|≤5，可得a-5≤2x≤a+5，再根据已知条件可得a-5=-4且a+5=6，从而求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|2x-1|，令h（x）=f（x）+f（-x），则由题意可得存在实数x使m≥h（x）成立，求得h（x）的最小值，可得实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由|2x-a|≤5，可得a-5≤2x≤a+5，再根据不等式f（x）≤5的解集为{x|-2≤x≤3}，
可得a-5=-4且a+5=6，∴a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|2x-1|，令h（x）=f（x）+f（-x），则由题意可得存在实数x使m≥h（x）成立，
由于h（x）=|2x-1|+|2x+1|=

-4x，x≤- 1 2 2，- 1 2 ＜x≤ 1 2 4x，x＞ 1 2

，∴h（x）的最小值为2，
故实数m的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，属于基础题．