Question

已知函数f（x）=e^x（x-lnx-1）（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函数f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（I）函数f（x）=e^x（x-lnx-1），定义域为（0，+∞）．f′(x)=ex(x-lnx-

1

x

)．令g（x）=x-lnx-

1

x

，求出g′（x）＞0，即可得出函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．再利用g（1）=0，可得f′（x）的正负，即可得出函数f（x）的单调性．
（II）不存在满足题意的实数a，b．由（I）可知：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．若存在实数a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函数f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，则f（a）=a，f（b）=b．即方程f（x）=x在（0，+∞）上由两个实数根．令g（x）=f（x）-x，利用导数研究其单调性与极值最值即可得出．

解答： 解：（I）函数f（x）=e^x（x-lnx-1），定义域为（0，+∞）．
f′(x)=ex(x-lnx-

1

x

)．
令g（x）=x-lnx-

1

x

，则g′(x)=1+

1

x2

-

1

x

=

x2-x+1

x2

＞0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵g（1）=0，∴当x＞1时，g（x）＞0，因此f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
当0＜x＜1时，g（x）＜0，因此f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
（II）不存在满足题意的实数a，b．
由（I）可知：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
若存在实数a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函数f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，
则f（a）=a，f（b）=b．即方程f（x）=x在（0，+∞）上由两个实数根．
令g（x）=f（x）-x，则h′(x)=ex(x-lnx-

1

x

)-1．
由（I）可知：h′（x）单调递增，h′（1）=-1＜0，h′（e）=e^e(e-1-

1

e

)-1＞0，
∴存在m∈（1，e），使得h′（m）=0．
并且当x∈（1，m）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
当x∈（m，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．
即h（m）为h（x）在（1，+∞）上的最小值．
而h（1）=f（1）-1=-1＜0，∴h（x）=f（x）-x只有一个零点．
即f（x）=x在（1，+∞）上只有一个实数根．
∴不存在实数a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函数f（x）在[a，b]值域也是[a，b]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数零点的个数，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．