Question

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若a＜

2

e2

，试判断函数f（x）在x∈（1，e²）的零点个数，并说明理由；
（3）若f（x）有两个相异零点x₁，x₂，求证：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求导．
对第（1）问，将a的值代入，得切线的斜率，接着求切点，利用点斜式得切线方程；
对第（2）问，考虑方程f（x）=0，将参数a分离，将零点问题转化为两函数图象交点问题，再利用导数研究函数的单调性，从而由两函数图象的位置关系确定零点个数；
对第（3）问，根据已知，将求证式进行等价转换，最后通过构造函数，利用函数的单调性达到证明的目的．

解答： （1）解：当a=2时，f（x）=lnx-2x，
f′(x)=

1

x

-2．
f（1）=-2，f′（1）=-1．
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y+2=-1×（x-1）．
即x+y+1=0；
（2）由f（x）=lnx-ax，
由f（x）=0，得a=

lnx

x

，
函数f（x）在x∈（1，e²）的零点个数等价于函数y=a的图象与函数y=

lnx

x

的图象的交点个数，
令g（x）=

lnx

x

，则g′（x）=

1-lnx

x2

，
由g'（x）=0，得x=e，
在区间（1，e）上，g'（x）＞0，则函数g（x）是增函数，
∴g（1）＜g（x）＜g（e），即0＜g（x）＜

1

e

；
在区间（e，e²）上，g'（x）＜0，则函数g（x）是减函数，
∴g（e²）＜g（x）＜g（e），即

2

e2

＜g（x）＜

1

e

．
∵a＜

2

e2

，∴当a≤0时，f（x）在x∈（1，e²）没有零点；
当0＜a＜

2

e2

时，函数f（x）有且只有一个零点．
（3）原不等式x₁•x₂＞e²?lnx₁+lnx₂＞2．
不妨设x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，
∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
∴a（x₁+x₂）＞2?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

．                                                          
令

x1

x2

=t，则t＞1，
于是ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t-1)

t+1

．
设函数h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1），
则h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
故函数h（t）在（1，+∞）上为增函数，
∴h（t）＞h（1）=0，
即不等式lnt＞

2(t-1)

t+1

成立，
故所证不等式x₁•x₂＞e²成立．

点评：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值，考查了分类讨论的数学转化思想方法，是压轴题．