Question

已知正三棱柱ABC-A′B′C′（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）的正视图和侧视图如图所示．设△ABC、△A′B′C′的中心为O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转．射线OA旋转所成的角为x弧度（x可取任一实数，逆时针为正角，顺时针为负角）．对应的俯视图的面积为S（x），则S（x）的最小正周期和值域分别为（　　）

• A、

  2π

  3

  ，[4，8]
• B、

  2π

  3

  ，[4

  3

  ，8]
• C、

  π

  3

  ，[4，8]
• D、

  π

  3

  ，[4

  3

  ，8]

Answer 1

考点：简单空间图形的三视图

专题：常规题型,空间位置关系与距离

分析：由题意判断俯视图的图形的形状，推出最大值，最小值时的位置，即可求解结果．

解答： 解：由题意可知，正三棱柱的底面三角形的高为

3

，正三角形的边长为2，
俯视图是矩形，当此三棱柱绕直线OO′旋转，在旋转过程中对应的俯视图，底面正三角形的边在俯视图中为矩形的边长时，俯视图的面积最大，则S的最大值为：2×4=8．
底面正三角形的高在俯视图中为矩形的边长时，俯视图的面积最小，则S的最小值为：

3

×4=4

3

．则值域为[4

3

，8]．
因为正三角形的内角均为60°，所以函数S（x）的最小正周期为

π

3

．
故选：D．

点评：本题考查三视图与直观图的关系，解题的关键是判断俯视图的图形的形状，推出最大值，最小值时的位置．