Question

3．若a，b∈R，a≠b，a²-a-1=0，b²=b+1．
（1）求$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的值．
（2）求a⁵+b⁵的值．

Answer 1

分析 由题意得到a，b是方程x²-x-1=0的两个实根，故ab=-1，a+b=1，对两个代数式变形为关于ab，和a+b的代数式求值．

解答 解：由题意得到a，b是方程x²-x-1=0的两个实根，故ab=-1，a+b=1，
所以（1）$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}=\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}=-3$．
（2）a⁵+b⁵=（a+b）⁵-5a⁴b-10a³b²-10a²b³-5ab⁴
=（a+b）⁵-5ab（a³+2a²b+2ab²+b³）
=1+5[（a+b）³-a²b-ab²）
=1+5[1-ab（a+b）]
=1+5[1+1]
=11．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二项式定理的应用求代数式的值；关键是发现a，b的关系，正确变形．