Question

【题目】已知函数

⑴若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

⑵若（为自然对数的底数），证明：当时，

Answer 1

【答案】（1）；

（2）见解析.

【解析】

（1）对函数进行求导，由题意可知在上恒成立，

即恒成立，构造新函数令，求导，研究新函数的单调性，求出新函数的最大值，这样就可以求出实数的取值范围；

（2）当时，要证，即证. 又，只需证，即证. ，求导，研究它的单调性，求出它的最小值；设，求导，研究它的单调性，求出它的最大值，这样命题得证.

（1）【解】，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立.

令，则， 由，解得，

故函数在上单调递增，在上单调递减，则， 即，所以的取值范围是.

（2）【证明】当时，要证，即证.

又，只需证，即证.

设，则，令，解得

故函数在上单调递减，在上单调递增，即，

从而有.

设，则，令，解得，

故函数在上单调递增，在上单调递减， 即，

从而有.

因为和不同时为0，所以，故原不等式成立.