Question

【题目】已知函数， ，其中为常数.

（1）当，且时，求函数的单调区间及极值；

（2）已知， ，若函数有2个零点， 有6个零点，试确定的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析.（2）.

【解析】试题分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间，根据函数的单调性可得的极值；（2）若函数存在2个零点，则方程有2个不同的实根，设，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得，而有6个零点，故方程与都有三个不同的解，可得,结合可得结果.

试题解析：（1）因为，所以，令或（舍）.

当时， ，函数单调递减； 时， ，函数单调递增.

因此的极小值为，无极大值.

（2）若函数存在2个零点，则方程有2个不同的实根，设，

则.令，得；

令，得，或， 所以在区间， 内单调递减，在区间内单调递增，且当时，令，可得，所以， ； ， ，因此函数的草图如图所示，

所以的极小值为.

由的图象可知.

因为，所以令，得或，即或，

而有6个零点，故方程与都有三个不同的解，所以，且，所以.

又因为， ，所以.