Question

【题目】已知椭圆过点，为内一点，过点的直线交椭圆于、两点，，为坐标原点，当时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先由椭圆过点得出值,再由可得出点在椭圆上,代入椭圆方程可得出的值,即可得出椭圆的方程；

（2）当直线斜率为0时,易得；当直线斜率不为0时,设直线的方程为,并设点、,将直线的方程与椭圆的方程联立,并列出韦达定理,由可得,由已知条件得,将关系式代入韦达定理并消去,于是可得出的不等式,即可求出的取值范围.

解:（1）由于,则、、三点共线,当时,则,

因为,

所以点和点在椭圆上,

因为椭圆过点,则,

将点的坐标代入椭圆的方程得,解得,

因此,椭圆的方程为；

（2）当直线斜率为0时,直线的方程为,则,,所以；

当直线斜率不为0时,设直线的方程为,设点、,

将直线的方程代入椭圆的方程并化简得,

由韦达定理可得,,

因为,,且,

所以,则,由于,所以,

所以,则,

由,

上述两式相除得,

由于,化简得,解得,

所以,

综上,实数的取值范围是.