Question

已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2，求f（x）在区间[-2，1]上的值域．

Answer 1

解：任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0
∵f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）为增函数．
在条件中，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），
再令x=y=0，则f（0）=2 f（0），
∴f（0）=0，故f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数，
∴f（1）=-f（-1）=2，又f（-2）=2f（-1）=-4，
∴f（x）的值域为[-4，2]．
分析：依据函数单调性的定义判断函数的单调性，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＞0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定单调性，再判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0；最后求f（x）在区间[-2，1]上的值域即可．
点评：本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，属于中档题．