Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=n²+2n，b_n=a_na_n+1cos（n+1）π，数列{b_n} 的前n项和为T_n，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，则实数t的取值范围是（-∞，-5]．

Answer 1

分析 n=1时，a₁=3．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2n+1．b_n=a_na_n+1cos（n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π，n为奇数时，cos（n+1）π=1；n为偶数时，cos（n+1）π=-1．对n分类讨论，通过转化利用函数的单调性即可得出．

解答 解：n=1时，a₁=3．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．n=1时也成立，∴a_n=2n+1．
∴b_n=a_na_n+1cos（n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π，
n为奇数时，cos（n+1）π=1；n为偶数时，cos（n+1）π=-1．
因此n为奇数时，T_n=3×5-5×7+7×9-9×11+…+（2n+1）（2n+3）=3×5+4×（7+11+…+2n+1）=15+4×$\frac{（2n+8）（n-1）}{4}$=2n²+6n+7．T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，
∴2n²+6n+7≥tn²，t≤$\frac{7}{{n}^{2}}$+$\frac{6}{n}$+2=$7（\frac{1}{n}+\frac{3}{7}）^{2}+\frac{5}{7}$，∴t＜2．
n为偶数时，T_n=3×5-5×7+7×9-9×11+…-（2n+1）（2n+3）=-4×（5+9+11+…+2n+1）=-2n²-6n．
∴T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，∴-2n²-6n≥tn²，t≤-2-$\frac{6}{n}$，∴t≤-5．
综上可得：t≤-5．
故答案为：（-∞，-5]．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的求值、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．