Question

2．已知函数f（x）=|x-m|-|x+3m|（m＞0）．
（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）对于任意实数x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t-1|恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将m=1的值带入，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）问题等价于对任意的实数xf（x）＜[|2+t|+|t-1|]_min恒成立，根据绝对值的性质求出f（x）的最大值以及[|2+t|+|t-1|]_min，求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=|{x-m}|-|{x+3m}|=\left\{\begin{array}{l}-4m\\-2x-2m\\ 4m\end{array}\right.$$\begin{array}{l}x≥m\\-3m＜x＜m\\ x≤-3m\end{array}$，
当m=1时，由$\left\{\begin{array}{l}-2x-2≥1\\-3＜x＜1\end{array}\right.$或x≤-3，得到$x≤-\frac{3}{2}$，
∴不等式f（x）≥1的解集为$\left\{{x\left|{x≤-\frac{3}{2}}\right.}\right\}$；
（Ⅱ）不等式f（x）＜|2+t|+|t-1|对任意的实数t，x恒成立，
等价于对任意的实数f（x）＜[|2+t|+|t-1|]_min恒成立，
即[f（x）]_max＜[|2+t|+|t-1|]_min，
∵f（x）=|x-m|-|x+3m|≤|（x-m）-（x+3m）|=4m，
|2+t|+|t-1|≥|（2+t）-（t-1）|=3，
∴4m＜3又m＞0，所以$0＜m＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．