Question

由函数确定数列，.若函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”.
（1）若函数确定数列的反数列为，求；
（2）对（1）中的，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；
（3）设（为正整数），若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为（公共项为正整数），求数列的前项和.

Answer 1

（1）；（2）；（3）　　　

解析试题分析：（1）本题实质是求函数的反函数；（2）不等式恒成立，因此小于不等式左边的最小值，所以我们一般想办法求左边这个和，然而由（1）知，这个和求不出，那么我们只能从另一角度去思考，看的单调性，这里只要作差就可得出是递增数列，所以的最小值是，问题解决；（3）看起来很复杂，实质上由于和取值只能是0和1，因此我们按的奇偶性分类讨论，问题就简化了，例如当为奇数时，，则，就可求出，从而求出的前项和了．
试题解析：（1），则；4分
（2）不等式化为：，5分
设，因为，
所以单调递增，                                    7分
则.因此，即.因为，
所以，得.            10分
（3）当为奇数时，，.       11分
由，则，
即，因此，                      13分
所以                                         14分
当为偶数时，，.                   15分
由得，即，因此，  17分
所以                                   18分
考点：（1）反函数；（2）数列的单调性；（3）分类讨论，等差数列与等比数列的前项和．