Question

11．在△ABC中，D为BC中点，cos∠BAD=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，cos∠CAD=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
（1）求∠BAC的大小
（2）求$\frac{AC}{AD}$的大小
（3）证明△ABC为等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先求出sin∠BAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin∠CAD=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，再由cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD），能求出∠BAC．
（2）由D为BC的中点，得S_△BAD=S_△CAD，推导出AC=$\sqrt{2}AB$，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，推导出AB=BC，从而△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，设AB=BC=x，则AC=$\sqrt{2}x$，AD=$\frac{\sqrt{5}}{2}x$，由此能求出$\frac{AC}{AD}$．
（3）由D为BC的中点，得S_△BAD=S_△CAD，推导出AC=$\sqrt{2}AB$，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，推导出AB=BC，由此能证明△ABC是等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵在△ABC中，D为BC中点，cos∠BAD=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，cos∠CAD=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
∴∠BAD和∠CAD都是锐角，
∴sin∠BAD=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin∠CAD=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD）
=cos∠BADcos∠CAD-sin∠BADsin∠CAD
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜∠BAC＜180°，∴∠BAC=45°．
（2）由D为BC的中点，得S_△BAD=S_△CAD，
∴$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD=\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\sqrt{2}$，∴AC=$\sqrt{2}AB$，
在△ABC中，由余弦定理得：
BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，
∴BC²=3AC²-2$\sqrt{2}•A{C}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$，即AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
设AB=BC=x，则AC=$\sqrt{{x}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2}x$，AD=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{{x}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}x$，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}x}{\frac{\sqrt{5}}{2}x}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
证明：（3）由D为BC的中点，得S_△BAD=S_△CAD，
∴$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD=\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\sqrt{2}$，∴AC=$\sqrt{2}AB$，
在△ABC中，由余弦定理得：
BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，
∴BC²=3AC²-2$\sqrt{2}•A{C}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$，即AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°．

点评 本题考查角的大小的求法，考查两线段比值的求法，考查三角形是直角三角形的证明，考查正弦定理、同角三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．