Question

【题目】设为平面上个点的集合，其中任三点不共线，任四点不共圆．一个圆被称为“好圆”是指中有三个点在圆上，个点在圆内，个点在圆外．求证：好圆的个数与有相同的奇偶性．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

考虑个点对，设包含点对的好圆个数为，则好圆总个数应为（因为每个圆包含三个点对）．由于与同奇偶，故只须证明所有均为奇数即可．

对任一点对，把在下方的任一点，比如说，在上方作一点，使，把下方的所有点通过此种变换变到上方．由于四点不共圆，故上方的所有点对的张角大小互不相同．将除外的个点按张角从小到大的顺序标号．若此点原来就在上方，则标记“上”；若此点是由原来在下方的点变换而得，则标“下”．由于每个点只和它对的张角的大小有关系，故不妨将个点排成一条与垂直的直线，张角小的在上．注意到，若过、、三点作圆，则对于那些标有“下”的点来说，若它处于圆内，则变换前必处于圆外，反之亦然．

从而，过点、、的圆为好圆等价于上方的“上”点数下方的“下”点数

下方的“上”点数上方的“下”点数． ①

于是，只须证明：满足上面条件的有奇数个．

（1）当均为“上”点，显然，只有一个点满足条件，点数为奇数．

此时，“下”点个数为0个．

（2）若，易知点数为奇数．

对一般的个点：

（i）若1和均标“上”，则1和必同时满足或不满足条件．

而由对称性，可去掉1，两点，剩下的点原来满足条件与否等价于现在满足条件与否．

故可把个点的情形化为个点的情形（它们的奇偶性相同）．

（ii）若1，两点中有1个点标“下”，不妨设为1，把点1标的“下”改为“上”，并放到点的下面，标号，则原来点1满足式①当且仅当现在点满足式①，原来满足式①当且仅当现在变换后点满足式①．若是点标“下”，把“下”改为“上”放到点1的上面，情况完全类似．此时，“下”的个数减少1，虽然点数没变．

故不断对个点进行操作（i）或（ii），可使得点数不断减少（每次减少2）或“下”点数不断减少（每次减少1）．于是，有限步后，必变成无标“下”的点或只有3个点的情形．此时，由（1）、（2）即可获证．

综上所述，原命题得证．