Question

一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,应用题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，由条件求得k，设航速为xkm/h时，总费用为y元，求得y=80x+

50000

x

，可由基本不等式或函数的导数，即可得到最小值．

解答： 解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，则80=k×10²，
解得k=

4

5

，
设航速为xkm/h时，总费用为y元，
则y=

4

5

x2×

100

x

+

100

x

×500=80x+

50000

x

．
（方法一）令y/=80-

50000

x2

=0，解得x=25（负值舍去），
当0＜x＜25时，y′＜0，x＞25时，y′＞0，
∴x=25是极小值点，也是最小值点，
此时y=80×25+

50000

25

=4000（元）．
（方法二）∵x＞0，∴y≥2

80x× 50000 x

=4000（元），
等号成立当且仅当80x=

50000

x

，解得x=25（负值舍去）．
答：航速为25km/h时，总费用最少，此时总费用为4000元．

点评：本题考查函数的最值的应用题，考查运用导数求最值，运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．