Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项公式a_n满足S_n=

1

2

（1-a_n）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=na_n，求T_n=b₁+b₂+…+b_n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先利用前n项和公式证明数列是等比数列，进一步求出通项公式．
（2）利用（1）的结论求出新数列的通项，进一步利用乘公比错位相减法求数列的和．

解答： 解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)
所以：3a_n=a_n-1
即：

an

an-1

=

1

3

所以数列{a_n}是以a₁为首项，公比是

1

3

的等比数列．
当n=1时，求出s1=a1=

1

3

an=

1

3

•(

1

3

)n-1=

1

3

n
（2）由（1）知：bn=nan=n

1

3

n
所以：T=1×

1

3

+2×(

1

3

)2+…+n×(

1

3

)n①

1

3

Tn=1×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+…+n×(

1

3

)n+1②
①-②得：

2

3

Tn=

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-n(

1

3

)n+1
解得：Tn=

1

2

-(

3

2

+n)(

1

3

)n+1
即：Tn=

3

4

-(

3

4

+

n

2

)(

1

3

)n

点评：本题考查的知识要点：利用前n项和公式求数列的通项公式，乘公比错位相减法的应用．属于基础题型．