Question

对于数列{x_n}，若对任意n∈N^*，都有

xn+xn+2

2

＜x_n+1成立，则称数列{x_n}为“减差数列”．设数列{a_n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且a₁=1，S₃=

7

4

．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并判断数列{S_n}是否为“减差数列”；
（2）设b_n=（2-na_n）t+a_n，若数列b₃，b₄，b₅，…是“减差数列”，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设数列{a_n}的公比为q，则1+q+q²=

7

4

，由此能求出数列{a_n}的通项公式，并判断数列{S_n}为“减差数列”．
（2）由题设知，b_n=2-

n

2n-1

t+

1

2n-1

=2t-

tn-1

2n-1

．由此能求出t的取值范围是（1，+∞）．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，则1+q+q²=

7

4

，
因为q＞0，所以q=

1

2

，
所以a_n=

1

2n-1

，
S_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

，
所以

Sn+Sn+2

2

=2-

1

2n

-

1

2n+2

＜2-

1

2n

=S_n+1，
所以数列{S_n}是“减差数列”．
（2）由题设知，b_n=2-

n

2n-1

t+

1

2n-1

=2t-

tn-1

2n-1

．
由

bn+bn+2

2

＜b_n+1，得t-

tn-1

2n

+t-

t(n+2)-1

2n+2

＜2t-

t(n+1)-1

2n

，
即

tn-1

2n

+

t(n+2)-1

2n+2

＞

t(n+1)-1

2n

，化简得t（n-2）＞1．
又当n≥3时，t（n-2）＞1恒成立，即t＞

1

n-2

恒成立，
所以t＞（

1

n-2

）_max=1．
故t的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查{a_n}的通项公式的求示，考查数列{S_n}是否为“减差数列”的判断，考查实数t的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．