Question

18．已知E（2，2）是抛物线C：y²=2px上一点，经过点D（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N
（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；
（2）已知O为原点，求证：∠MON为定值．

Answer 1

分析 （1）将E代入抛物线方程，即可求得p的值，即可求得焦点坐标及准线方程；
（2）方法一：由直线l不经过点E，则直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-2），代入抛物线方程，求得M和N点坐标，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，则∠MON为定值$\frac{π}{2}$；
方法二：设直线l的方程：x=my+2，代入抛物线方程，求得M和N点坐标，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，则∠MON为定值$\frac{π}{2}$．

解答 解：（1）将E（2，2）代入y²=2px，得p=1，
∴抛物线方程为y²=2x，焦点坐标为（$\frac{1}{2}$，0），准线方程x=-$\frac{1}{2}$；．…（3分）
（2）证明：设A（$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$，y₁），B（$\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
因为直线l不经过点E，则直线l的斜率存在，
设直线l方程为y=k（x-2），
与抛物线方程联立得到$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，消去x，整理得：ky²-2y-4k=0，
则由韦达定理得：y₁+y₂=$\frac{2}{k}$，y₁y₂=-4，…（6分）
直线AE的方程为：y-2=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2}-2}$（x-2），
即y=$\frac{2}{{y}_{1}+2}$（x-2）+2，
令x=-2，得y_M=$\frac{2{y}_{1}-4}{{y}_{1}+2}$，…（9分）
同理可得：y_N=$\frac{2{y}_{2}-4}{{y}_{2}+2}$，…（10分）
又∵$\overrightarrow{OM}$=（-2，y_M），$\overrightarrow{ON}$=（-2，y_N），
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=4+y_My_N=4+$\frac{2{y}_{1}-4}{{y}_{1}+2}$×$\frac{2{y}_{2}-4}{{y}_{2}+2}$，
=4+$\frac{4[{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}{[{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}$=4+$\frac{4（-4-\frac{4}{k}+4）}{-4+\frac{4}{k}+4}$=0…（13分）
∴OM⊥ON，即∠MON为定值$\frac{π}{2}$．…（14分）．
方法二：证明：设A（$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$，y₁），B（$\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
设直线l方程为x=my+2，
于抛物线方程联立得$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，整理得：y²-2my-4=0，
则由韦达定理得：y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4，…（6分）
直线AE的方程为：y-2=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2}-2}$（x-2），
即y=$\frac{2}{{y}_{1}+2}$（x-2）+2，
令x=-2，得y_M=$\frac{2{y}_{1}-4}{{y}_{1}+2}$，…（9分）
同理可得：y_N=$\frac{2{y}_{2}-4}{{y}_{2}+2}$，…（10分）
又∵$\overrightarrow{OM}$=（-2，y_M），$\overrightarrow{ON}$=（-2，y_N），
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=4+y_My_N=4+$\frac{2{y}_{1}-4}{{y}_{1}+2}$×$\frac{2{y}_{2}-4}{{y}_{2}+2}$，
=4+$\frac{4[{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}{[{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}$=4+$\frac{4（-4-2m+4）}{-4+2m+4}$=0…（13分）
∴OM⊥ON，即∠MON为定值$\frac{π}{2}$．…（14分）

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．