Question

13．观察如图：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
…
问：（1）此表第n行的最后一个数是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2010是第几行的第几个数？
（4）是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为2²⁷-2¹³-120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）观察已知排列的数，依次正整数的个数是，1，2，4，8，…，分析得出是规律，根据规律求出第n行的最后一个数．
（2）由（1）得到第n行的第一个数，且此行一共有2 ^n-1个数，从而利用等差数列的求和公式即可计算第n行的各个数之和；
（3）由（1）可知第n行的最后一个数是2ⁿ-1，即可推断
（4）对于存在性问题，可先假设存在，即存在n使得S′=2²⁷-2¹³-120，再利用（II）的结论，构建等式，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答 解：（1）由已知得出每行的正整数的个数是1，2，4，8，…，其规律：
1=2^1-1，
2=2^2-1，
4=2^3-1，
8=2^4-1，
…，
由此得出第n行的第一个数为：2^n-1，共有2^n-1个，
所以此表第n行的最后一个数是2ⁿ-1
（2）由（1）得到第n行的第一个数，且此行一共有2 ^n-1个数，从而利用等差数列的求和公式得：
第n行的各个数之和S=$\frac{{2}^{n-1}（{2}^{n-1}+{2}^{n}-1）}{2}$=$\frac{3}{8}$•4ⁿ-$\frac{1}{4}$•2ⁿ=3×2^2n-3-2^n-2，
（3）由（1）可知第n行的最后一个数是2ⁿ-1，
当n=11时，最后一个数字为1023，
当n=12时，最后一个数字为2047，
所以2010在第第12行，2010-1023=987，
故2010是第12行的第987个数；
（III）第n行起的连续10行的所有数之和S=$\frac{3}{8}$•4ⁿ（1+4+…+4⁹）-$\frac{1}{4}$•2ⁿ=（1+2+…+2⁹）
=2^n-2（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023），
又2²⁷-2¹³-120=2³（2²⁴-2¹⁰-15）
若存在n使得S′=2²⁷-2¹³-120，
则2^n-2（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023）=2³（2²⁴-2¹⁰-15）…（*）
所以n-2≥3，所以n≥5．n=5时，（*）式成立，
n＞5时由（*）可得2^n-5（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023）=2²⁴-2¹⁰-15，
此等式左边偶数右边奇数，不成立．
所以满足条件的n=5．

点评 此题考查的知识点是等差数列与等比数列的综合、图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，其关键是从每行的正整数个数1，2，4，8，…这列数找出规律解答．