Question

16．设曲线$y=\sqrt{2x-{x^2}}$与x轴所围成的区域为D，向区域D内随机投一点，则该点落入区域{（x，y）∈D|x²+y²＜2}内的概率为$\frac{π-1}{π}$．

Answer 1

分析 求出对应区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．

解答 解：$y=\sqrt{2x-{x^2}}$与x轴所围成的区域为以C（1，0）为圆心半径为1的上半圆，面积S_D=$\frac{1}{2}π×{1}^{2}$=$\frac{π}{2}$，
该点落入区域{（x，y）∈D|x²+y²＜2}的区域如图：如图阴影部分，
则扇形AOC的面积S=$\frac{1}{4}π×{1}^{2}$=$\frac{π}{4}$，
三角形OAC的面积S_△AOC=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
扇形AOD的面积S=$\frac{45}{360}$π$（\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{π}{4}$，
则阴影部分的面积S_阴影=S_扇形AOC+S_扇形AOD-S_△AOC=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$，
由几何概率的计算公式可得，该点落入区域{（x，y）∈D|x²+y²＜2}的概率P=$\frac{\frac{π-1}{2}}{\frac{π}{2}}$=$\frac{π-1}{π}$，
故答案为：$\frac{π-1}{π}$．

点评 本题主要考查了几何概型的概率计算以及扇形的面积公式的计算，要求熟练掌握扇形的面积公式和几何概型的概率公式．