Question

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）写出f（x）在[-3，3]上的表达式，并讨论函数f（x）在[-3，3]上的单调性；
（3）求出f（x）在[-3，3]上的最小值和最大值，并求出相应的自变量的取值．

Answer 1

解：（1）f（-1）=kf（1）=-k，∵f（0.5）=k f（2.5），
∴f（2.5）=．
（2）对任意实数x，f（x）=kf（x+2），∴f（x-2）=kf（x），∴f（x）=f（x-2）．
当-2≤x＜0时，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
当-3≤x＜-2时，-1≤x+2＜0，f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）．
故f（x）=
∵k＜0，∴f（x）在[-3，-1]与[1，3]上为增函数，在[-1，1]上为减函数．
（3）由（2）中函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知，
f（x）在x=-3或x=1处取最小值f（-3）=-k²或f（1）=-1，
而在x=-1或x=3处取最大值f（-1）=-k或f（3）=-，
故有：
①k＜-1时，f（x）在x=-3处取最小值f（-3）=-k²，在x=-1处取最大值f（-1）=-k；
②k=-1时，f（x）在x=-3与x=1处取最小值f（-3）=f（1）=-1，在x=-1与x=3处取最大值f（-1）=f（3）=1；
③-1＜k＜0时，f（x）在x=1处取最小值f（1）=-1，在x=3处取最大值f（3）=-．
分析：（1）利用f（-1）=kf（1），由 f（0.5）=k f（2.5），得到f（2.5）=f（0.5）= （0.5-2）•0.5．
（2）有条件可得f（x）=f（x-2），当-2≤x＜0时，-3≤x＜-2时，分别求出f（x）的解析式，从而得到f（x）在在[-3，3]上的表达式，通过表达式研究单调性．
（3）由（2）中函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知，在x=-3或x=1处取最小值，在x=-1或x=3处取最大值．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，体现了换元的思想、分类讨论的数学思想，求f（x）在[-3，3]上的表达式是本题的难点和易错点．