Question

7．已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）．若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在[-$\frac{3}{2}$，1]上的最大值．

Answer 1

分析 先求出a的值，得到函数f（x）的单调区间，从而求出区间上的最大值．

解答 解：∵f′（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2，
∴f′（x）=3x²+4x+1=3（x+$\frac{1}{3}$）（x+1）．
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞-$\frac{1}{3}$；
由f′（x）＜0，得-1＜x＜-$\frac{1}{3}$．
因此，函数f（x）在[-$\frac{3}{2}$，1]上的单调递增区间为[-$\frac{3}{2}$，-1]，[-$\frac{1}{3}$，1]，
单调递减区间为[-1，-$\frac{1}{3}$]．
∴f（x）在x=-1处取得极大值为f（-1）=2；
又∵f（1）=6，
∴f（x）在[-$\frac{3}{2}$，1]上的最大值为f（1）=6

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．