Question

19．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887．人们称该数列为{a_n}
“斐波那契数列”，若把该数列{a_n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序
组成新数列{b_n}，在数列{b_n}中第2015项的值是1．

Answer 1

分析 根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论．

解答 解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，
即新数列{b_n}是周期为6的周期数列，所以b₂₀₁₅=b_235×6+5=b₅=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查数列的应用，利用条件推导数列为周期数列是解决本题的关键．