Question

18．用数学归纳法证明（1+x）ⁿ＞1+nx，这里x＞-1且x≠0，n∈N^*且n≥2．

Answer 1

分析 （1）验证当n=2时，原不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，由数学归纳法证明当n=k+1时不等式也成立即可．

解答 证明：（1）当n=2时，左边=1+2x+x²，右边=1+2x，
∵x²＞0，∴左边＞右边，原不等式成立；
（2）假设当n=k时，不等式成立，即（1+x）^k＞1+kx，
则当n=k+1时，∵x＞-1，∴1+x＞0，
在不等式（1+x）^k＞1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）＞（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x，
∴（1+x）^k+1＞1+（k+1）x．即当n=k+1时，不等式也成立．
综合（1）（2）可得对一切正整数n，不等式都成立．

点评 本题考查数学归纳法证明不等式，属中档题．