Question

6．已知f（x）=xe^x+ax²-x，a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对x≥0时，恒有f′（x）-f（x）≥x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入，先求出函数f（x）的导数，进而求出函数的单调区间；
（2）构造函数g（x）=f′（x）-f（x），通过讨论a的范围，结合函数g（x）的单调性，求出g（x）的最值，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=（x+1）e^x+2ax-1，
当$a=-\frac{1}{2}$时，f′（x）=（x+1）e^x-（x+1）=（x+1）（e^x-1），
当x＞0或x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，
单调增区间为（-∞，-1），（0，+∞），单调减区间为（-1，0）；
（2）设g（x）=f′（x）-f（x）=e^x-ax²+2ax-1g′（x）=e^x-2ax+2a=u（x）u′（x）=e^x-2a，
x≥0时，e^x≥1，
①当2a≤1，即$a≤\frac{1}{2}$时，u′（x）≥0，g′（x）=e^x-2ax+2a在[0，+∞）上是单调递增的，
g′（x）≥1+2a，∴a≥-$\frac{1}{2}$，g（x）在[0，+∞）上是单调递增，g（x）≥g（0）恒成立，
∴-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，
g′（x）≥1+2a＜0，∴a＜-$\frac{1}{2}$，存在$x_0^{\;}∈（0，+∞）$，g′（x₀）=0，
$x∈（0，x_0^{\;}）$，g（x）递减，g（x）＜g（0）=0与g（x）≥g（0）矛盾舍
②当2a＞1，即$\frac{1}{2}＜a≤\frac{e^2}{2}$时，u'（x）=0，x=ln2ag′（x）=e^x-2ax+2a的最小值为：
g′（ln2a）=4a-2aln2a=2a（2-ln2a）≥0，
g（x）在[0，+∞）上是单调递增，g（x）≥g（0）恒成立，$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$，
综上：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．