Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²sinθ+$\sqrt{3}$xcosθ，其中θ∈R，那么g（θ）=f′（1）的取值范围是[-2，2]．

Answer 1

分析 根据题意先求出f（x）的导数f′（x），令x=1求出f′（1）即得到g（θ），利用三角函数诱导公式转化成正弦函数求出最值得到g（θ）的范围即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²sinθ+$\sqrt{3}$xcosθ，则f′（x）=xsinθ+$\sqrt{3}$cosθ，
当x=1时，g（θ）=f′（1）=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）=2（cos$\frac{π}{3}$sinθ+sin$\frac{π}{3}$cosθ）=2sin（θ+$\frac{π}{3}$），
∵θ∈R，当θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{6}$时正弦函数g（θ）达到最大，最大值等于2；
当θ+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，即θ=-$\frac{5π}{6}$时，正弦函数g（θ）达到最小，最小值等于-2；
∴g（θ）的取值范围为[-2，2]；
故答案为[-2，2]．

点评 本题考查学生求函数导数的能力，同时要会运用三角函数的诱导公式以及正弦函数求最大值的方法．