Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）不动点，若函数f（x）有且仅有一个不动点
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²在（0，

6

3

]上是单调减函数，求实数k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，讨论并求h（x）=x+

k

4x

+1的零点．

Answer 1

考点：二次函数的性质,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得，二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴为x=-

b

2a

=1，故有b=-2a，再根据函数
f（x）有且仅有一个不动点，可得ax² -2ax=x 只有一个解，由判别式等于零求得a、b的值，可得函数的解析式．
（2）g（x）=x+

k

x

，在（0，

6

3

]上是单调减函数，

k＞0 k ≥ 6 3

得出答案．
（3）分类讨论得出当x＞0时，h（x）＞0恒成立，此时无零点，
根据对钩函数的性质得出：
当x＜0时，f（x）_max=1-

k

，
①当1-

k

=0时，即k=1时，h（x）有1个负零点，
②当k＞1时，1-

k

＜0，h（x）无零点，
③当

2

3

≤k＜1时，1-

k

＞0，h（x）有2个负零点，

解答： 解：（1）由题意可得，二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴为x=-

b

2a

=1，∴b=-2a，
f（x）=ax² -2ax．
再根据函数f（x）有且仅有一个不动点，可得ax² -2ax=x 只有一个解，
故△=（2a+1）²-0=0，∴a=-

1

2

．
（2）f（x）=-

1

2

x²+x，
g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²，
∵即k≥

2

3

，
故实数k的取值范围：k≥

2

3

，
（3）h（x）=x+

k

4x

+1，k≥

2

3

，
∵当x＞0时，h（x）＞0恒成立，
∴此时无零点，
∵当x＜0时，-x-

k

4x

≥2

k 4

=

k

，
∴x+

k

4x

≤-

k

，
∴当x＜0时，f（x）_max=1-

k

，
∵k≥

2

3

①当1-

k

=0时，即k=1时，h（x）有1个负零点，
②当k＞1时，1-

k

＜0，h（x）无零点，
③当

2

3

≤k＜1时，1-

k

＞0，h（x）有2个负零点，

点评：本题考查了函数的性质，解析式的求解，函数的零点，分类讨论的思想，属于中档题．