Question

已知函数f（x）=

x+2c，0＜x＜c log 1 2 x+2，c≤x＜1

，且f（（1-c）²）=

5

4

，则关于x的不等式f（x）＜log

1

2

（cx）+x的解集为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据函数f（x）的解析式，得出0＜c＜1；
讨论（1-c）²与c的大小，利用f（（1-c）²）=

5

4

，求出c的值，
化简不等式f（x）＜log

1

2

（cx）+x，求出解集来．

解答： 解：∵函数f（x）=

x+2c，0＜x＜c log 1 2 x+2，c≤x＜1

，
∴0＜c＜1；
令（1-c）²=c，解得c=

3- 5

2

，或c=

3+ 5

2

（应舍去）；
当0＜c≤

3- 5

2

时，1＞（1-c）²≥c，
∴f（（1-c）²）=log

1

2

（1-c）²+2=

5

4

，
即log

1

2

（1-c）²=-

3

4

，
∴（1-c）²=(

1

2

)-

3

4

，
解得c=1-2

3

8

（＜0应舍去），或c=1+2

3

8

（＞2应舍去）；
当c＞

3- 5

2

时，0＜（1-c）²＜c，
∴f（（1-c）²）=（1-c）²+2c=

5

4

，
即1+c²=

5

4

，
∴c²=

1

4

，
解得c=

1

2

，或c=-

1

2

（应舍去）；
∴关于x的不等式f（x）＜log

1

2

（cx）+x可化为
x+1＜log

1

2

（

1

2

x）+x，
即log

1

2

（

1

2

x）＞1，
∴0＜

1

2

x＜

1

2

，
∴0＜x＜1；
∴不等式的解集为（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评：本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．