Question

若点F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，O为坐标原点，若F是△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S₁，S₂，S₃，则S₁²+S₂²+S₃²=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定抛物线y²=4x的焦点F的坐标，求出S₁²+S₂²+S₃²，利用点F是△ABC的重心，即可求得结论．

解答： 解：设A、B、C三点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），则
∵抛物线y²=4x的焦点F的坐标为（1，0），
∴S₁=

1

2

|y₁|，S₂=

1

2

|y₂|，S₃=

1

2

|y₃|，
∴S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（y₁²+y₂²+y₃²）=x₁+x₂+x₃，
∵点F是△ABC的重心，
∴x₁+x₂+x₃=3，
∴S₁²+S₂²+S₃²=3，
故答案为：3

点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形重心的性质，属于中档题．