Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-a_n=2（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=4，b₃=14，且数列{b_n-a_n}是各项均为正数的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=b_n-2n，求数列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用等比数列的通项公式前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-a_n=2（n∈N^*），∴a_n=2+2（n-1）=2n．
数列{b_n}满足b₁=4，b₃=14，且数列{b_n-a_n}是各项均为正数的等比数列，设其公比为q＞0．
b₃-a₃=（b₁-a₁）q²，即14-6=（4-2）q²，解得q=2．
∴b_n-a_n=2×2^n-1，可得b_n=2n+2ⁿ．
（II）c_n=b_n-2n=2ⁿ，
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴数列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．