Question

已知（2x+1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=0就可以求出常数，即a₀=1，请研究其中蕴含的解题方法并完成下列问题：若e^x=

+∞

i=0

a_ixⁱ，即e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a_nxⁿ+…，则

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

=

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,导数的运算

专题：等差数列与等比数列

分析：通过对e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…a_nxⁿ+…，连续求导，赋值求出a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，猜想a_n，然后求解

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

的值．

解答： 解：对e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a_nxⁿ+…，两边求导：
e^x=a₁+a₂x+a₃x²+a₄x³+…+a_nx^n-1+…，令x=0得：a₁=1⇒

1

a1

=1
再两边求导：e^x=2×1a₂+3×2a₃x+4×3a₄x²+…n×（n-1）a_nx^n-2+…
令x=0得：a₂=

1

1×2

⇒

1

a2

=1×2=2!
再两边求导：e^x=3×2×1a₃+4×3×2a₄x+…n（n-1）（n-2）a_nx^n-3+…
令x=0得：a3=

1

1×2×3

⇒

1

a3

=1×2×3=3!
…
猜想：an=

1

1×2×3×…n

⇒

1

an

=1×2×3×…n=n!
所以

n

an

=n×n!=[（n+1）-1]n!=（n+1）!-n!，所以

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

═（2!-1!）+（3!-2!）+…[（n+1）!-n!]=（n+1）!-1．
故答案为：（n+1）！-1．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，函数的导数以及二项式定理的应用，以及赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力．